La raíz cuadrada
¿Qué es una raíz cuadrada?
Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de cuadrar un número.
Se nota la raíz cuadrada de un número x así: √x.
Para cuadrar un número natural se simplemente multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 72 = 49.
Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso. Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):
√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.
√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.
√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.
√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.
√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.
√1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.
La raíz cuadrada y el cuadrado
Hay una conexión simple entre estos conceptos.
Cuadrar un número n significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.
Mira los ejemplos:
Cuadrar el número 9
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Raíz cuadrada del número 9 |
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lado = 9
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lado = √9 = 3.
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¿Cómo se la calcula?
1) Su calculador tiene una botón para la raíz cuadrada. Se se la usa antes o después de poner el número, depende del calculador.
Nota que cuando su calculador le da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), este no significa que la raiz es exactamente este número. En realidad, si la raiz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningun periodo en sus cifras decimales. El calculador solo le da una aproximación con tantas cifras que caben en su pantalla.
2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se halla dos números naturales entre quienes es la raiz. En caso de √17, el resultado es entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.
Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 es muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.
Entonces se lo prueba por elevando la estimación a segunda potencia: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficiente grande, y voy a probar 4.15.
4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe ser entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:
4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado es entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?
4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado es entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?
4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado es entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?
4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado es entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?
4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?
4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?
4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?
Y etcetera.
3) Algoritmo babilónico.
En este, se usa el promedio y la división así:
Primero halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.
Entonces divide el número cuyo raiz se quiere encontrar con la aproximacion. Entonces calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será su nueva aproximación para la raíz.
Por ejemplo:
Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.
Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.
Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.
Este promedio 6.642857 es la aproximación de 44 que obtenemos en este primero paso.
En el segundo paso dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.
En el tercer paso dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.
Etcetera.
4) Algoritmo decimal.
¿Y qué de las raices negativas?
Si tú elevas un número negativo a segunda potencia (o lo cuadras), el resultado es positivo: (-5) × (-5) = 25. No hay nada complicado aquí.
Pero de esa sabemos que √25 tambien es -5!
Fíjate: √64 es 8 y -8, ya que ambos 82 y (-8)2 son 64.
Entonces, en realidad cada raiz tiene dos soluciones: un positivo y un negativo. Pero muchas veces nos interesamos sólo en la solución positiva.
¿ Se puede calcular la raiz cuadrada de un número negativo?
Bueno, éste es diferente de la situación arriba. Esta vez tenemos un número negativo "bajo de la raiz", o sea por ejemplo √-25.
¿Se puede hallar un número cuyo segunda potencia sea -25?
Pues, 5 no sirve ya que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que (-5) × (-5) = 25.
Resulta que no hay solucion ... en el conjunto de números reales.
Pero... si te aventuras a estudiar números imaginarios, si hay solucion: √-25 = 5i, donde i es la unidad imaginaria.
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