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La raíz cuadrada

¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado un número.

La raíz cuadrada de un número x se simboliza así:   √x.

Para elevar al cuadrado un número natural simplemente se multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 72 = 49.

Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso. Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):

16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.
36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.
100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.
10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.
0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.
1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.


La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.

Elevar al cuadrado un número n significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.

Mira los ejemplos:

Cuadrar el número 9
Raíz cuadrada del número 9
Area = 92

lado = 9

Area = 9

lado = √9 = 3.


¿Cómo se la calcula?

1) Se puede encontrar el resultado de una raíz cuadrada haciendo uso de una calculadora. En ella hay un botón para la raíz cuadrada, que está representado por el simbolo de la raíz (el radical) o por las siglas en inglés "sqrt". Se presiona esta tecla antes o después de insertar el número del que se desea hallar la raíz, dependiendo de la calculadora.

Nota que cuando tu calculadora da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), eso no significa que la raíz sea exactamente ese número. En realidad, si la raíz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningun periodo en sus cifras decimales. La calculadora sólo da una aproximación con tantas cifras cuantas caben en su pantalla.


2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se hallan dos números naturales entre los cuales se encuentra la raíz. En el caso de √17, el resultado se encuentra entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.

Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 está muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se efectúa la prueba elevando al cuadrado el número estimado: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficientemente grande, voy entonces a probar con 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe estar entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado está entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado está entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?

4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado está entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?

4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado está entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?

4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?

4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?

4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?

Y etcetera.


3) Algoritmo babilónico.

Esta es otra manera de calcular la raíz cuadrada. Este metodo da una respuesta más exacta cuantas más veces se utiliza. En él, se usa el promedio y la división así:

Primero se halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Luego se divide el número cuya raíz se quiere encontrar con la aproximación. Luego se calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será tu nueva aproximación para la raíz. Y se repite el proceso.

Por ejemplo:

Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.

Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.
Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.

Ahora repetimos el proceso utilizando este promedio (6.642857) como mi nuevo valor aproximado de 44.

Por lo tanto, de forma analoga a lo que hicimos antes, dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.

Una vez más, repetimos el proceso: dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.

Etcetera.


4) Algoritmo decimal.


¿Y qué de las raices negativas?

Si elevas un número negativo a la segunda potencia (lo elevas al cuadrado), el resultado es positivo: (-5) × (-5) = 25 (porque negativo por negativo es positivo).

De allí deducimos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y -5!

Las dos raíces cuadradas de 64 son 8 y -8, ya que ambos 82 y (-8)2 dan como resultado 64.

NOTA: Cuando se usa el símbolo radical siempre se hace referencia a la raíz NO negativa. Por ejemplo √16 = 4 (y no -4).


¿ Se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo?

Bueno, este caso difiere de la situación anterior. Esta vez tenemos un número negativo "debajo de la raiz", como por ejemplo √-25.

¿Se puede hallar un número cuyo segunda potencia sea -25?

Pues, 5 no sirve ya que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que (-5) × (-5) = 25.

Resulta que no hay solución ... en el conjunto de los números reales.

Pero... si te aventuras a estudiar números imaginarios, si hay solución: √-25 = 5i, donde i es la unidad imaginaria.


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