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División de fracciones

Ni los maestros ni los estudiantes suelen entender bien este tema. Pero queremos que ellos aprendan, no sólo la regla, sino también el significado de la división de fracciones.

Estas ideas te pueden ayudar a explicar y entender la división de fracciones (quebrados):

  1. La regla de "invertir y multiplicar" aplica a la división en general - no solamente a la división de fracciones. Es un principio general. Por ejemplo:

    20 ÷ 4

    Puedo invertir y multiplicar:

    20 × 1/4 = 5.

    La división de números naturales se puede pensar como repartir en partes iguales. Cuando divides algo por 7, estás repartiéndolo en 7 partes, y eso corresponderia a tomar la séptima parte (1/7) de lo que estas dividiendo - o multiplicar por 1/7:

    42 ÷ 7 = 42 × 1/7 = 6.

    Puedes SIEMPRE cambiar una división por una multiplicación usando este principio: 18 ÷ 2.51 = 18 × 1/2.51


  2. Piensa en la división de fracciones en esta manera: ¿cuántas veces cabe el divisor en el dividendo? Esto se puede usar para juzgar si la respuesta es razonable.

    Por ejemplo, considera 1 3/5 ÷ 2/3. Claro que 2/3 cabe en 1 3/5 más de dos veces.

    Vea a continuación como un estudiante efectuó esta cuenta:
    1 3/5 ÷ 2/3 = 8/5 × 2/3 = 16/15 = 1 1/15 - un poco más de 1.

    Pero anteriormente determinamos que la respuesta era mayor de dos. ¿CUÁL FUE EL ERROR QUE COMETIÓ EL ESTUDIANTE?

    Otro ejemplo: 3/8 ÷ 11/12. Ahora, el divisor es mayor que el dividendo. Entonces eso significa que 11/12 no cabe ni una vez en 3/8. O podemos ver facilmente que 11/12 sólo "cabe" en 3/8 más o menos una media vez (11/12 es aproximadamente la mitad de 3/8), entonces la respuesta debería ser cerca de una mitad.

    Y efectivamente, usando la regla, 3/8 ÷ 11/12 = 3/8 × 12/11 = 3/2 × 3/11 = 9/22.

  3. Un método alternativo para dividir fracciones es primero convertir las dos fracciones en fracciones equivalentes, y luego simplemente dividir un numerador entre el otro.

    5/6 ÷ 1/8 = (pasar ambas a 24.a partes)
    20/24 ÷ 3/24 (ahora nos olvidamos del denominador 24...)
    = 20 ÷ 3 = 6 2/3.

    La respuesta tiene sentido porque 1/8 puede "caber" más de seis veces en 5/6.

    Este método me gusta porque da significado a la regla: ¿cuántas veces cabe 3/24 en 20/24? Es lo mismo que preguntar cuántas veces cabe 3 en 20.

    Otro ejemplo:

    2 2/11 ÷ 2/5 = 24/11 ÷ 2/5
    = 120/55 ÷ 22/55 (pasar ambas a 55.a partes)
    = 120 ÷ 22 = 5 10/22 = 5 5/11.

  4. Volveremos a la regla de "invertir y multiplicar". Primero consideramos el número 1 (la unidad) como el dividendo. En otras palabras, pensemos en ejemplos del tipo 1 ÷ x.

    ¿Cuántas veces cabe 1/2 en una unidad? Dos veces. 1 ÷ 1/2 = 2.

    ¿Cuántas veces cabe 3/4 en una unidad? Cabe una vez, y sobra 1/4.
    Luego preguntamos ¿cuántas veces cabe 3/4 en el 1/4 que sobra? Son 1/3 veces, porque podemos meter 1/3 de 3/4 en 1/4. Entonces, 3/4 cabe en la unidad un total de 4/3 veces. 1 ÷ 3/4 = 4/3.

    ¿Cuántas veces cabe 1 2/5 en una unidad? Ni siquiera una vez. Si piensas en 1 como 5/5 y en 1 2/5 como 7/5, la pregunta sería: ¿Cuántas veces cabe 7/5 en 5/5?
    Pues 5 de los 7 quintos caben en cinco quintos... entonces 1 2/5 cabe en la unidad exactamente 5/7 veces. A lo mejor necesitas dibujar esto en papel o en tu mente. Dibuja la unidad como 5/5 (cinco quintos), luego dibuja 7/5 al lado. Exactamente cinco de los 7 partes de 7/5 caben en la unidad.

    1 ÷ 7/5 = 5/7.

    Puedes repetir este tipo de razonamiento con cualquier fracción m/n y obtener
    que 1 ÷ m/n = n/m.

    Entonces, si 5/6 cabe en la unidad exactamente 6/5 veces, luego preguntamos, ¿cuántas veces cabe 5/6 en 3 13/15 ?

    Exactamente 6/5 × 3 13/15 veces.

    O, 3 13/5 × 6/5, si te parece mejor. ¡La división 3 13/15 ÷ 5/6 se resuelve invirtiendo la segunda fracción (por la cual se quiere dividir) y multiplicando!

    (Completando las cuentas: 3 13/5 × 6/5 = 44/5 × 6/5 = 220/25 = 8 20/25 = 8 4/5.)


Un ejemplo más

¿Cuántas veces cabe 3/4 en 15 6/8?

Hay dos maneras de resolver esto:

  1. Este problema parece díficil, pero si en él cambias los números por otros "más fáciles", por ejemplo "¿Cuántas veces cabe 2 en 834", de repende será más fácil darse cuenta de que necesitamos usar división.

    Entonces, el problema original se resuelve dividiendo 15 6/8 ÷ 3/4.
     
  2. ¡Pero espera un momentico! Los números originales no son tan difíciles al fin y al cabo... porque 6/8 es igual a 3/4. Usemos la cabeza - matemáticas mental.

    3/4 cabe en 1 1/2 dos veces. Doblando eso, hallamos que 3/4 cabe en 3 cuatro veces. Y entonces en 15... cinco veces eso: 3/4 cabe en 15 exactamente 4 × 5 o 20 veces!

    Y por supuesto 3/4 cabe en 6/8 exactamente una vez.

    Por fin, en total 3/4 cabe en 15 6/8 exactamente 21 veces. No sobra nada. Y eso fue fácil!

Los siguientes dos videos explican el proceso de cómo enseñar la división de fracciones de una manera conceptual.

Dividir fracciones: cálculo mental

Explico dos situaciones en donde se puede dividir fracciones sin utilizar la "regla" usual, sólo usando cálculo mental.

En la primera de ellas se dividen "pedazos de pastel" entre una cierta cantidad de personas, tal como 6/10 dividido por 3.

La otra situación tiene que ver con divisiones en las que podemos pensar en cuántas veces el divisor está en el dividendo, como por ejemplo 4/7 dividido por 2/7 (dos veces).






Cómo dividir fracciones / números recíprocos

Explico que son los números recíprocos, incluyendo una interpretación visual de ellos.

A continuación, estudiamos la regla o atajo para dividir fracciones: Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproco.

Por último, explico por qué funciona la regla, basado en números recíprocos y en la interpretación de división como "¿Cuántas veces está (cabe) el divisor en el dividendo?"


Véase también

Tema 6 División de fracciones de Números y Cuentas para la Vida.

Videos mios para temas de fracciones, parte 1 (convertir fracciones en números mixtos y viceversa, sumar y restar fracciones homogéneas, fracciones equivalentes, sumar y restar números mixtos con partes fraccionales homogéneas, sumar y restar fracciones heterogéneas, mínimo común denominador, y comparar fracciones)

Videos mios para temas de fracciones, parte 2 (simplificar fracciones, multiplicar fracciones por enteros, multiplicar fracciones por fracciones, simplificar antes de multiplicar, multiplicación de fracciones y el área, dividir fracciones con cálculo mental, dividir fracciones usando números recíprocos, convertir fracciones en decimales, razones y fracciones, una parte fraccional de un grupo de objetos)


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