Ejemplos de resolver problemas verbales de dos ecuaciones lineales en algebra

Problema: Juan compró bolígrafos rojos por $4 cada uno y bolígrafos azules por $2.80 cada uno. Si Juan compró 24 bolígrafos por el costo total de 84 dólares, ¿cuántos bolígrafos rojos compró?
Solución: Este es un problema típico que se resuelve planteando un sistema de dos ecuaciones con dos variables (incógnitas).

Sea r la cantidad de bolígrafos rojos que Juan compra, y b la cantidad de bolígrafos azules.

Conseguimos nuestra primera ecuación de esta frase: "Él compró un total de 24 bolígrafos."
Por lo tanto, r + b = 24.

Obtenemos la segunda ecuación del hecho de que sus compras tienen un valor total de $84, y los bolígrafos rojos cuestan $4, y los bolígrafos azules cuestan $2.80 cada uno.

4r + 2.8b = 84

Ahora, simplemente resuelve este sistema de dos ecuaciones con el método que prefiera (yo utilizaré el método de reducción).

    r + b = 24
4r + 2.8b = 84

Primero multiplico la ecuación superior por -4 de modo que los coeficientes de r sean iguales y de signo contrario, y luego sumo las dos ecuaciones.

-4r - 4b = -96
4r + 2.8b = 84
-------------------
    -1.2b = -12

De esto, b = 10.

Ya que r + b = 24, r debe ser 14.


Problema: En un grupo de 60 trabajadores, el salario promedio es $80 por día por trabajador. Si algunos de los trabajadores ganan 75 dólares al día y todos los demás ganan $100 al día, ¿cuántos trabajadores ganan 75 dólares al día?

Solución: Para empezar, necesitamos hallar cuáles son las incógnitas. En este caso, hay dos. Algunos trabajadores ganan 75 dólares al día, y otros ganan $100 (dos cantidades).

Sea A = trabajadores que ganan $75 al día.
Sea B = trabajadores que ganan $100 al día.

Necesitamos ambas variables en la construcción de las ecuaciones, a pesar de que el único valor que pide el problema es A.

Entonces tenemos que utilizar la información dada de alguna manera en la construcción de las dos ecuaciones. Recuerde que para resolver DOS incógnitas, se necesitan DOS ecuaciones.

Bueno, hay 60 trabajadores, por lo que nuestra primera ecuación es bastante fácil: A + B = 60.

La primera frase de "el salario promedio es $80 por día por trabajador" te podría confundir... pero en realidad, el concepto de promedio no aplica mucho. Esta información se utiliza SOLAMENTE para averiguar un dato útil: que el grupo de los trabajadores gana 60 x $80 = $4,800 en TOTAL cada día. Utilizamos este dato para construir nuestra segunda ecuación, que tiene que ver con los ingresos TOTALES diarios:

75A + 100B = 4800

Ahora tenemos dos ecuaciones lineales, y todo lo que queda es resolver el sistema usando cualquier técnica estándar.

     A + B = 60
75A + 100B = 4800

Multiplico la ecuación de arriba por -100, y a continuación, sumo las dos ecuaciones:

-100A - 100B = -6000
  75A + 100B = 4800
-----------------------------
        -25A = -1200
           A = 48

Entonces, B debe ser 12 (ya que la suma de A y B es igual a 60).

Comprobación: 48 × $75 + 12 × $100 = $4,800.


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