Un problema: dos triángulos y la razón entre sus areas

Este problema es apto para el grado 6 y adelante.

Los lados de los triángulos A y B miden 5, 5, 8 y 5, 5, 6 respectivamente. ¿Qué es la razón entre la area del triángulo A y la area del triángulo B? Exprésala en la forma de a:b más simple.

El autor de este problema es John Morse de Delmar, NY. Me gusta el problema, ya que se lo puede resolver en muchas maneras diferentes, y entonces se lo puede usar con alumnos de varios grados. Por ejemplo:

1. Podría usarlo como un ejercicio de dibujar y medir con los alumnos del 6^o o 7^o grado con tal que ya sepan dibujar construcciones con una regla y compás.

   Al saber construir un triángulo de sus tres lados (vease aquí), los estudiantes pueden construir estos dos triángulos, luego pueden dibujar y medir las altitudes, y calcular las areas.

   Por supuesto, lo malo es que las medidas serán inexactas, y pues es improbable que consigan la area de exactamente 12 unidades cuadradas. Pero en el otro lado, usted podría enseñar este tema también (medidas inexactas).

2. Otra manera de resolver este (toscamente) es calculando las areas de los dos triángulos usando la fórmula de Herón (¡si la sabes!) Simplemente sustituye los números en ella.

3. La manera elegante... accessible a los alumnos que saben el teorema de Pitágoras. Le enseño la solución paso a paso.

   El primer paso es NOTAR que los triángulos son isósceles (de "piernas" iguales), y dibujar un esbozo.

   (Mi dibujo no es un "esbozo" sino un dibujo tan exacto que se puede hacer en PhotoImpact, porque empecé dibujando los tres lados dados. Luego calculé la medida de un ángulo, y giré un lado en esta medida para obtener un "rincon".)

   Para que los estudiantes vean la solución fácilmente, es bastante importante poder dibujar los dos triángulos.

   

   Cuando dibuja triángulos isosceles, piensa en la letra "A" y sus dos "piernas". Solo necesitamos dibujar un triángulo más alta y otro que tiene sus "piernas" más abiertas.

   Nota uno de ellos es casi un triángulo equilátero ya que sus lados son casi iguales: 5, 5, y 6. Pues lo puede esbozar como casi un triángulo equilátero, solo haga las "piernas" un poquito más abiertas. Luego el 5-5-8 triángulo necesita abrir sus "piernas" mucho para la base de 8 unidades.

   Pues, nos interesamos de sus AREAS, entonces necesitamos la altitud. Al dibujar las dos altitudes, la idea es usualmente hallar la medida de la altitud para calcular la area.

   Pero en este caso hay un atajo. Recuerda, la altitud forma dos pequeños triángulos RECTÁNGULOS en cada triángulo.

   

   En el triángulo en la izquierda, los dos lados ya conocidos del triángulo pequeño son 5 y 3, y en el otro los dos lados conocidos son 5 y 4.

   Esto le suena, ¿no? .... ¡DING! ¿RECUERDA el 3-4-5 triángulo rectángulo? ¿Corresponde con este problema?

   Claro que sí. AMBOS triángulos pequeños son 3-4-5 triángulos rectángulos!

   Para probarlo, PUEDE usar la teorema de Pitágoras: en un triángulo pequeño, tendrías x, 4, y 5 (5 es la hipotenusa), entonces resolviendo x² + 4² = 5² le da x = 3, y en el otro triángulo, resolviendo x² + 3² = 5² conseguirá x = 4.

   Pero no hay que resolverlo si se recuerda que 3-4-5 es un triángulo rectángulo.

   

   OK, ya sabemos las altitudes y podríamos calcular las areas... ¡PERO espera un momento! Si los triángulos pequeños son idénticos (congruentes), entonces sus areas son las mismas, y las areas de los triángulos grandes son las mismas también. Solo necesitamos hallar la razón entre las dos areas, no las areas exactas.

   Pues dos triángulos de la misma area, la razón entre ellas es por supuesto 1:1.