Un problema: dos triángulos y la razón entre sus áreas

Este problema es apto para el grado 6 y adelante.

Los lados de los triángulos A y B miden 5, 5, 8 y 5, 5, 6 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre la área del triángulo A y la área del triángulo B? Exprésala en la forma de a:b más simple.

El autor de este problema es John Morse de Delmar, NY. Me gusta este problema, ya que se puede resolver de muchas maneras diferentes, y por lo tanto se puede usar con alumnos de varios grados. Por ejemplo:

  1. Podría usarlo como un ejercicio de dibujar y medir con los alumnos del 6o o 7o grado con tal que ya sepan dibujar construcciones con una regla y compás.

    Al saber construir un triángulo conociendo la longitud de sus tres lados (vease aquí), los estudiantes pueden construir estos dos triángulos, luego pueden dibujar y medir las altitudes, y calcular las áreas.

    Por supuesto, lo malo es que las medidas serán inexactas, y pues es improbable que consigan un área de exactamente 12 unidades cuadradas. Pero por otro lado, usted podría enseñarle este tema también (medidas inexactas).

  2. Otra manera de resolver este (toscamente) es calculando las áreas de los dos triángulos usando la fórmula de Herón (¡si la sabes!) Simplemente sustituye los números en ella.

  3. Ua manera más elegante es esta... accessible a los alumnos que saben el teorema de Pitágoras. Les enseñaré la solución paso a paso.

    El primer paso consiste en NOTAR que los dos triángulos son isósceles (de "piernas" iguales), y dibujar un esbozo.

    (Mi dibujo no es un "esbozo" sino un dibujo exacto que hice en PhotoImpact. Empecé dibujando los tres lados dados. Luego calculé la medida de un ángulo, y giré un lado en esta medida para obtener un "rincón".)

    Para que los estudiantes vean la solución fácilmente, es bastante importante poder dibujar los dos triángulos.

    556-558-triangulos

    Cuando dibujas triángulos isosceles, piensa en la letra "A" y en sus dos "piernas". Sólo necesitamos dibujar un triángulo más alto y otro que tenga sus "piernas" más abiertas.

    Nota que uno de ellos es casi un triángulo equilátero ya que sus lados son casi iguales: 5, 5, y 6. Entonces lo puedes esbozar casi como un triángulo equilátero, sólo haz las "piernas" un poquito más abiertas. Luego el triángulo 5-5-8 necesita abrir sus "piernas" mucho para la base de 8 unidades.

    Pues, lo que nos interesa son sus AREAS, entonces necesitamos la altitud. Al dibujar las dos altitudes, la idea es usualmente hallar la medida de la altitud para calcular el área.

    Pero en este caso hay un atajo. Recuerda, la altitud forma dos pequeños triángulos RECTÁNGULOS en cada triángulo.

    556-558-triangulos

    En el triángulo en la izquierda, los dos lados ya conocidos del triángulo pequeño son 5 y 3, y en el otro los dos lados conocidos son 5 y 4.

    Esto te suena, ¿no? .... ¡DING! ¿RECUERDAS el triángulo rectángulo 3-4-5? ¿Corresponde con este problema?

    Claro que sí. AMBOS triángulos pequeños son triángulos rectángulos 3-4-5!

    Para probarlo, PUEDES usar la teorema de Pitágoras: en un triángulo pequeño, tendrías x, 4, y 5 (5 es la hipotenusa), entonces resolviendo x2 + 42 = 52 te da x = 3, y en el otro triángulo, resolviendo x2 + 32 = 52 conseguirás x = 4.

    Pero no es necesario efectuar estas cuentas si recuerdas que el triángulo 3-4-5 es rectángulo.

    556-558-triangulos

    OK, ya sabemos las altitudes y podríamos calcular las áreas... ¡PERO espera un momento! Si los triángulos pequeños son idénticos (congruentes), entonces sus áreas son las mismas, y las áreas de los triángulos grandes son las mismas también. Sólo necesitamos hallar la razón entre las dos áreas, no las áreas exactas.

    Pues teniendo los dos triángulos la misma área, la razón entre ellas es por supuesto 1:1.


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