Dos problemas de partes fraccionales

Presento dos problemas de partes fraccionales y sus resoluciones, para quinto, sexto y séptimo grado. Presento dos soluciones para cada problema: una solución usando modelo de bloques (o barras), y otra con álgebra. El primer problema es:

La cantidad de adultos en un autobús es 3/5 de la cantidad de los niños. En la próxima parada, suben 6 adultos y 6 niños en el autobús. Como resultado, la cantidad de adultos es ahora 2/3 de la cantidad de niños. ¿Cuántas personas hubieron en el autobús al principio?

Una solución usando un modelo de bloques (a la Singapore):
   niños |----|----|----|----|----|

adultos  |----|----|----|


Después que suben 6 adultos y 6 niños, tenemos:
   niños |----|----|----|----|----| +6

adultos  |----|----|----| +6

Ahora mire la diferencia entre los niños y los adultos. Hay dos "bloques" más niños que adultos. Sabemos que la cantidad de adultos es 2/3 de la cantidad de los niños... por lo tanto la DIFERENCIA de dos bloques debe ser 1/3 de los niños.

Ahora observe:
niños |----|----|----|----|----| +6

Dos de esos bloques es 1/3 del total... Los otros dos bloques son otro 1/3 del total... entonces |----| +6  o (un bloque más 6) debe ser 1/3 del total.
Esto significa que +6 debe ser un bloque. O, un bloque = 6. Esto ahora resuelve el problema, ya que originalmente teníamos ocho "bloques" de personas, o 48 personas.

Una solución con álgebra:
Sea c la cantidad de niños al principio. Hubieron (3/5)c adultos al principio.

Luego llegan 6 más adultos y 6 más niños, entonces ahora tenemos c + 6 niños, y (3/5)c + 6 adultos.

Ahora, la cantidad de adultos = (2/3) de la cantidad de niños.

(3/5)c + 6 = (2/3)(c + 6)

Ya que esta ecuación contiene fracciones, multipliquemos ambos lados por 15 para comenzar:

9c + 90 = 10(c + 6)

9c + 90 = 10c + 60

30 = c

Hubieron 30 niños y 18 adultos al principio, o un total de 48 personas.


El otro problema con partes fraccionales es:
Dos quintos de los contadores en una caja fueron rojos y los demás fueron azules. Al colocar 48 contadores azules más en la caja, 3/4 de los contadores fueron azules. ¿Cuántos contadores hubieron en la caja al principio?

Una solución usando modelo de bloques:

 azul |----|----|----|

rojo  |----|----|

Luego:

 azul |----|----|----| + 48

rojo  |----|----| 

...y ahora 3/4 de los contadores son azules. Por lo tanto, |----|----| (los rojos) o dos bloques es 1/4 de los contadores. Entonces, hay un total de 8 bloques de contadores. Pero dibujé cinco bloques más 48. Entonces, 48 debe valer tres "bloques", o un bloque vale 16.

Al principio teníamos cinco "bloques" de contadores, o 5 x 16 = 80 contadores.

VERIFICAR:
80 contadores... 32 rojos y 48 azules. Suma 48 azules. Ahora tenemos 32 rojos y 96 azules, un total de 128. Los rojos son 32/128 = 8/32 = 1/4. Está bien.

Una solución usando algebra:
Al principio, tenemos (2/5)c contadores rojos y (3/5)c contadores azules. Una vez que añadimos 48 contadores azules, tenemos (2/5)c contadores rojos y (3/5)c + 48 contadores azules, y c + 48 contadores en total. Eso dice que ahora 3/4 de los contadores son azules. Escribamos eso como una ecuación:

(3/4) de todos los contadores = la cantidad de contadores azules

(3/4)(c + 48) = (3/5)c + 48 Multiplica esto por 20.

15(c + 48) = 12c + 960

15c + 720 = 12c + 960

3c = 240

c = 80

Hubieron 80 contadores originalmente.

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