Los números de Fibonacci y la razón áurea

Esta lección es sobre la secuencia de Fibonacci y la razón áurea, apta tanto para la escuela media (primera parte) como para los estudiantes de matemáticas de secundaria (bachillerato).

Pregunta a tus alumnos, cómo creen ellos que sigue esta secuencia de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

La solución es la siguiente:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Sencillamente tienes que sumar dos números consecutivos de la secuencia para obtener el siguiente. Por ejemplo, 0 + 1 = 1. Luego, 1 + 1 = 2. Luego, 1 + 2 = 3. Y así sucesivamente.

Esta secuencia se llama secesión de Fibonacci o números de Fibonacci. Y no es simplemente cualquier secuencia: tiene algunas propiedades increíbles, y además aparece en la naturaleza en muchos lugares.

Por ejemplo, puedes revestir un piso con baldosas cuadradas cuyos lados son números de Fibonacci consecutivos:


Un piso con baldosas cuadradas cuyos lados tienen como longitudes números de Fibonacci consecutivos. Pide a los estudiantes que expandan el piso, utilizando el mismo criterio! Imagen de Wikipedia.

O también, puedes dibujar una espiral como la de abajo. De hecho, la espiral se construye a partir del mismo piso de baldosas!


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Estos platos tienen como decoración unos cuadrados cuyos lados tienen longitudes tomadas de la secuencia de Fibonacci:


Photo by www.flickr.com/photos/darkemerald/5421772097

Por ejemplo, el plato en el medio podría ser de 21 cm por 21 cm (el cuadrado de color azul turquesa no se ve completamente), el cuadrado blanco en su interior podría ser de 13 cm × 13 cm, el cuadrado azul cielo podría ser de 8 cm × 8 cm, el negro podría ser 5 cm × 5 cm, y así sucesivamente.

En la naturaleza, los números de Fibonacci se encuentran por ejemplo en la disposición de las semillas sobre la cabeza de ciertas flores. La siguiente imagen muestra una manzanilla amarilla y sus floretes, además espirales, algunas de color azul y otras de color agua. Si CUENTAS el número de espirales azules y luego el número de espirales color agua, obtendrás dos números de Fibonacci consecutivos! (¿Cuáles?)


Imagen por: Alvesgaspar y RDBury en Wikipedia

Las semillas que se encuentran en las cabezas de las flores suelen acomodarse según arreglos o patrones que se basan en los números de Fibonacci, porque resulta que es la forma más eficiente de acomodar las semillas en una flor minimizando espacio perdido y permitiendo que nuevas semillas se acomoden a medida que la planta vaya creciendo.

Además, ¿sabías que las hojas de las plantas se disponen alrededor del tallo en base a los números de Fibonacci? (Vea uno de los enlaces de arriba.) Del mismo modo, las ramas de los árboles giran alrededor del tronco según un patrón basado en los números de Fibonacci. Esto hace que las hojas nuevas tapen lo meno posible las hojas de abajo, permitiendo así a cada hoja recibir la luz solar necesaria.

En los siguientes enlaces se puede aprender más y ver muchas fotos acerca de los números de Fibonacci en la naturaleza (en inglés).


¿Qué es el número Phi y cómo se relaciona con los números de Fibonacci?

Aquí hay otra cosa sorprendente sobre esta secuencia. Vamos a hacer una lista de los COCIENTES que obtenemos cuando tomamos un número de Fibonacci y lo divididimos por el número de Fibonacci anterior :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, ...

¿Cuál es el punto de hacer eso? (Tus estudiantes podrían preguntarte lo mismo.) El patrón no es tan visible cuando los cocientes se escriben como fracciones. Pide a tus estudiantes que escriban las expansiones decimales de las relaciones anteriores. Obtenemos:

1, 2, 1.5, 1.6666..., 1.6, 1.625, 1.615384615..., 1.619047619..., 1.617647059..., 1.618181818...

¿Qué observas?

Si continuas escribiendo más de esos cocientes y calculas sus expansiones decimales, se observa que la serie de números se acerca más y más a un cierto número ... aunque nunca se llegue a él totalmente!

El número al cual se acerca la serie es (√5 + 1)/2, que es de aproximadamente 1,6180339887 ... es IRRACIONAL y tiene el nombre de Phi.

Aquí está la prueba matemática (en inglés): The Ratio of neighbouring Fibonacci Numbers tends to Phi.


La sección áurea

Así es como se obtiene la razón áurea también conocida como razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción:

una recta dividida en la razon dorada

Considera una recta de longitud W y divídela en dos partes, L (parte Larga) y C (parte Corta). Queremos que al dividir la longitud total (W) entre la del segmento mayor (L), obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor (L) entre la del menor (C). En otras palabras la longitud total es al segmento más largo L, como L es al segmento más corto C. Podemos escribir la siguiente ecuación:

W:L = L:C

Claramente W = C + L, por lo tanto:

(C + L):L = L:C

Al resolver esta proporción para L, se obtiene L = (√5 + 1)/2 · S o sea L ≈ 1.618S o L = Phi · S. El número Phi aparece aquí otra vez!

Por lo tanto si divides una línea de forma tal que la parte más larga sea Phi veces ( aproximadamente 1.62) la parte más corta, la has dividido según la proporción áurea. Hasta Euclide la estudió en los tiempos antiguos. Él la definió así: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".

Y la razón áurea es la razón Phi:1.


Solución de la ecuación - más detalles (Usted puede omitir esta casilla si así lo desea.)

La solución de la ecuación para la razón áurea requiere el uso de la fórmula de ecuaciones de segundo grado, por lo que es un buen ejercicio para los estudiantes de álgebra.

C:L = L:W se escribe generalmente en forma de C/L = L/W

Ya que W = C + L, podemos sustituir C+L en lugar de W y obtener:

C/L = L/(C + L)

Otro truco es, ya que esta es sólo una línea general, podemos suponer que la parte más corta C tenga una longitud de 1 unidad. Después de eso, la ecuación resulta bastante simple:

1/L = L/(1 + L)

Al resolver la ecuación haciendo uso de la fórmula cuadrática, y descartando la raíz negativa, se obtiene L = (√5 + 1)/2

Rectángulo áureo

Rectángulo áureo (o dorado) es un rectángulo, donde la longitud y la anchura del rectángulo están en la proporción áurea. Esto significa que la longitud es de aproximadamente 1,62 veces la anchura.


este es un rectángulo dorado

Algunas personas dicen que este rectángulo posee un aspecto más atractivo con respecto a los demás, o que los humanos prefieren los rectángulos áureos respecto a los otros. Esto no es algo que se haya demostrado, por lo tanto puedes pensar lo que quieras! A mi personalmente me gusta bastante este tipo de rectángulo. La próxima vez que estes editando fotos digitales, trata de recortar la foto según esta razón y ve cómo te parece.

Consulta también esta ilustración animada del rectángulo dorado y de la espiral en su interior.


¿Por qué estudiar los números de Fibonacci?

Vamos a considerar una última cosa. Es impostante para nuestros hijos o alumnos aprender acerca de los números de Fibonacci o la proporción de oro? A final de cuenta no es un tema muy común en los libros de matemáticas.

Mi opinión es que sí, los estudiantes deberían saber acerca de ellos. Creo que es importante que nuestros jóvenes aprendan algunos temas de las matemáticas que puedan mostrar cómo las matemáticas aparece en la naturaleza. Se trata de apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana. Los niños estudian "Apreciación del Arte" para que puedan apreciar las obras de arte hechas por el hombre. Oh, cuánto más deberiamos apreciar las "obras de arte" en la naturaleza, como los pétalos de las flores, las inflorescencias y las espirales en las conchas de los animales! Y, una vez que se entienda un poco acerca de las matemáticas detrás de estas cosas, se podrá apreciar la naturaleza en un nivel más profundo. :)

El estudio de los números de Fibonacci y la forma en que aparecen en la naturaleza es un tema que se podría estudiar en la escuela media. La proporción áurea es un número irracional por lo tanto se ajusta mejor a la matemática de secundaria. Escribir un informe sobre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea podría ser es un excelente proyecto para la escuela secundaria.




P.D. Algunas personas tratan de encontrar la proporción áurea en todo lo que hay en el universo y la consideran una especie de cosa mística o una "constante universal de diseño." Es cierto que puedes encontrarla en la naturaleza, pero no toda declaración que aparece en Internet acerca de los números de Fibonacci o phi se ha confirmado científicamente.



Por Maria Miller


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