El exponente cero y el exponente negativo

¿Por qué 20 = 1?  ¿Y qué significa un exponente negativo?

Los estudiantes pueden descubrir las respuestas a estas preguntas por sí mismos! Simplemente muéstrales las siguientes listas, y pídeles que encuentren un PATRÓN en ellas:

25 = 32
24 = 16
23 =
22 =
21 =
20 =
         35 = 243
34 = 81
33 =
32 =
31 =
30 =
       105 = 100 000
104 = 10 000
103 =
102 =
101 =
100 =

El patrón es que se divide por el mismo número en cada paso, ya sea por 2, 3 o 10. Esto conduce automáticamente a que 20 = 1, 30 = 1 y 100 = 1 Podríamos hacer el mismo proceso para otros números también, y funcionaría de la misma manera. Por lo tanto, al menos para todos los números enteros positivos n se cumple que n0 = 1.

El siguiente video (en inglés) muestra la misma idea: explicar el exponente cero comenzando con un patrón. Esto justifica la regla y hace que sea algo lógico, en lugar de ser sólo un enunciado matemático sin pruebas. El video también muestra otra idea para justificar la regla dada: podemos multiplicar potencias de la misma base, y concluir de eso a cuanto es igual un número elevado a la potencia cero.

Puedes probar si el mismo razonamiento funciona para números negativos (base negativa) - y si lo hace!  Simplemente tienes que dividir por ese número negativo en cada paso (en este caso por menos 2):

(2)5 = 32
(2)4 = 16
(2)3 = 8
(2)2 = 4
(2)1 = 2
(2)0 = 1

A continuación extiende aún más tu lista siguiendo el mismo patrón - estas introduciendo los exponentes negativos.  Escribe las siguientes tablas sin las respuestas, y pídele a los alumnos que las completen.  Cuando hayan terminado pregúntales si notan algún patrón.

En cado paso
divide por 2 

23 = 8
22 = 4
21 = 2 
20 = 1
2−1 = 1/2
2−2 = 1/4
2−3 = 1/8

  
En cado paso
divide por 3 

33 = 27
32 = 9
31 = 3
30 = 1
3−1 = 1/3
3−2 = 1/9
3−3 = 1/27

   En cada paso
divide por 10 

103 = 1000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10−1 = 1/10
10−2 = 1/100
10−3 = 1/1000

 

Después de haber identificado los patrones juntos, pídeles a los estudiantes que extiendan las tablas en ambas direcciones.   También pídeles que escriban una con el número 4 y otra con −2.

Ahora vamos a echar un vistazo a las columnas un poco más de cerca.

En cada paso
divide por 2 

23 = 8
22 = 4
21 = 2 
20 = 1
2−1 = 1/2
2−2 = 1/4 = 1/22
2−3 = 1/8 = 1/23

  
En cada paso
divide por 3 

33 = 27
32 = 9
31 = 3
30 = 1
3−1 = 1/3
3−2 = 1/9 = 1/32
3−3 = 1/27 = 1/33

Basándote en esta observación, pide a los estudiantes a cuanto sería igual 2−5 ? La respuesta que queremos es, por supuesto, que 2−5 = 1/25.  Del mismo modo, 4−7 = 1/47.  Esta observación es la que se suele emplear como la definición de potencias con exponentes negativos, y ahora ya sabes de dónde viene!   En otras palabras, cuando se tiene una base elevada a un exponente negativo, la definición dice de tomar el recíproco de la misma base, y elevarlo al valor positivo de ese mismo exponente.

El siguiente video explica también esta misma idea: enseñar los exponentes negativos sobre la base de un patrón.



¿Qué pasa si la base es negativa? ¿Cómo se resolvería (−3)−2?

Sigue el mismo principio de arriba. Divide por −3 en cada paso.
El signo de las respuestas se alterna.

(−3)3 = −27
(−3)2 = 9
(−3)1 = −3
(−3)0 = 1
(−3)−1= −1/3
(−3)−2 = 1/9
(−3)−3 = −1/27
(−3)−4 = 1/81


O, puedes utilizar la definición para hallar la respuesta:
(−3)−2 = 1/(−3)2 = 1/9
(−3)−3 = 1/(−3)3 = 1/(−27) = −1/27 etc.

 

¿Existen juegos relacionados con el concepto de los exponentes negativos que puedas utilizar una vez que los niños hayan comprendido bien el tema?

No he encontrado ningún juego sobre este tema en Internet (hazme saber si tienes algunos!) . Pero te dejo algunas sugerencias simples para juegos que tú misma podrás realizar.

  • JUEGO 1 (Encuentra la respuesta): Prepara una lista de preguntas relacionadas con los exponentes negativos. Escribe las respuestas en tarjetas en blanco. Coloca las cartas (tarjetas) boca abajo sobre la mesa. Uno de los jugadores lee la pregunta y los demás se turnan para voltear las cartas y encontrar la respuesta. Si encuentran la correcta deben guardarla. Si encuentran la respuesta equivocada, deben voltearla de nuevo en el mismo lugar. El jugador con más cartas al final es el ganador.

  • JUEGO 2 (Resuelve y avanza en el tablero): Necesitaras dos mazos de cartas. Uno para las bases y el otro para los exponentes. Consigue también cualquier tablero de juegos de mesa en el que se tiran los dados y se mueve la ficha hacia algún tipo de objetivo. En su turno, cada jugador toma una carta del mazo 'base' y otra del mazo 'exponentes ' y luego simplifica (resuelve) la expresión resultante. Si responde correctamente, puede tirar el dado y avanzar en el tablero la cantidad de casillas que el dado indique. O, puedes hacer tus propias reglas basadas en el juego de mesa original.

  • JUEGO 3 (Juega al revés): haz un mazo de "cartas de respuesta" , con números como 1/9, 1/8, 1/25, 1, 4, 1/125, 1/32, 32, 16, 36, etc.. Necesitarás también un tablero con casillas de algún juego de mesa, como arriba (una gran variedad de tableros se puede también imprimir de internet). En su turno cada jugador agarra una carta del mazo y luego busca una expresión en la forma ab,que dé como resultado el valor que salió en la carta. Si la expresión es correcta el jugador puede tirar el dado (o los dados) y mover su ficha en el tablero. Todas o algunas de las respuestas pueden basarse en potencias con exponentes positivos.

  • JUEGO 4 (El más rápido gana) Este es un juego para dos jugadores que involucra exponentes negativos. Entrega a cada jugador las cartas del 1 al 5 (se puede utilizar una baraja de cartas común, usando el as como 1). Las cartas negras simbolizaran los números positivos y las cartas rojas los números negativos. Un jugador elige una de sus cartas como la base y la coloca sobre la mesa. Al mismo tiempo, el otro jugador elige una de sus cartas como el exponente, y la coloca sobre la mesa. El jugador que dice en voz alta la respuesta correcta primero gana las cartas sobre la mesa (gana el pozo) y las pone en su mazo personal. Si se trata de un empate, las cartas se quedan sobre la mesa y los jugadores juegan otra ronda. El ganador de esa ronda se queda con las cuatro cartas. El ganador es el alumno que acumula más cartas.

 

¿Qué pasa si la base es una fracción? ¿Cómo se resolvería   ( 1

5
) −2?

Puedes volver a escribir las diferentes potencias de 1/5 y buscar un patrón.

( 1

5

)4

1

5
 ×  1

5
 ×  1

5
 ×  1

5
 =  1

625
( 1

5

)3

1

5
 ×  1

5
 ×  1

5
 =  1

125
( 1

5

)2

1

5
 ×  1

5
 =  1

25
( 1

5

)1

1

5
( 1

5

)0 = 1 

Podrás ver que en cada paso que sigue, se multiplica por 5.  ¿Por qué?

Si empleas el mismo razonamiento considerado anteriormente (donde dividimos por el mismo número en cada paso),entonces tendrías que dividir por 1/5 en cada paso.   Pero, recordaras de la división de fracciones que dividir cualquier número por 1/5 es lo mismo que multiplicar el número por el recíproco de 1/5, lo cual es 5.

Así dividir por 1/5 es lo mismo que multiplicar por 5. Si continuamos un poco más la lista de arriba, obtenemos:

( 1

5

)2

1

5
 ×  1

5
 =  1

25
( 1

5

)1

1

5
( 1

5

)0 = 1 

( 1

5

)−1 = 5 

( 1

5

)−2 = 25 

( 1

5

)−3 = 125 

( 1

5

)−4 = 625 


O bien, puedes utilizar la definición que dice de tomar el recíproco del número elevado al exponente positivo.  Así, por ejemplo,

( 1

5

)−2 = 52 = 25

( 1

5

)−6 = 56 = 15625

( 2

3

)−3

( 3

2
)3  =   3

2
 ×  3

2
 ×  3

2
  =   27

8
  =  3 3

8
(1 2

7

)−4  =  

( 9

7

)−4  =  

( 7

9

)4  =  

7

9
 ×  7

9
 ×  7

9
 ×  7

9
  =   2401

6561

Más información:

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